Фамилия Чихоцкая — женская форма фамилии Чихоцкий, и её происхождение почти наверняка связано с географическим названием. Словообразовательная модель с суффиксом -цк- (или -ск-) в русских фамилиях чаще всего указывает на польские или западнорусские корни: так образовывались фамилии от названий населённых пунктов, особенно по модели «житель такого-то места». В основе здесь лежит топоним Чихоцы или Чихоце — такие названия встречаются в Польше (например, деревня Чихоце в Мазовецком воеводстве). Фамилия Чихоцкий буквально значила «выходец из Чихоц», а Чихоцкая — «жена или дочь Чихоцкого».

Корень «чих-» в славянских языках прозрачен: он связан со звукоподражанием чиханию. Однако в случае с топонимом Чихоце это, скорее всего, не прямое прозвище чихающего человека, а название поселения, которое могло произойти от прозвища первого поселенца (Чихоть, Чихота) или от особенности местности. В польской ономастике есть фамилии Чихоцкий и Чихоцка (Cichocka, Cichocki), причём вариант с «и» (Cichocki) более распространён и связан с корнем cichy — «тихий». Русская передача «Чихоцкая» могла возникнуть из-за смешения написания: польское «Cichocka» при заимствовании иногда записывали на слух как «Чихоцкая», хотя по смыслу исходник — «Тихоцкая» (от «тихий»). Но если фамилия действительно пишется через «и» — Чихоцкая, а не Чихоцкая, — то версия с чиханием становится основной.

Сословная принадлежность носителей фамилии Чихоцкий/Чихоцкая в Российской империи, скорее всего, была шляхетской или мещанской. Фамилии на -цкий в XIX веке часто носили обедневшие дворяне или выходцы из польской шляхты, которые переселялись в западные губернии России (Гродненская, Виленская, Волынская). Встречается фамилия и среди православного духовенства — священникам нередко давали «географические» фамилии по месту службы или рождения. Точных данных о конкретных известных носителях фамилии Чихоцкая в открытых источниках мало, что типично для редких фамилий с локальным бытованием.

Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах и ревизских сказках по западным губерниям — особенно в тех уездах, где были деревни с похожими названиями. Фамилия почти не встречается в центральной России и Сибири, что подтверждает её западнославянское происхождение.