Фамилия Чихреев — редкий пример, где основа почти наверняка связана не с именем или профессией, а с диалектным глаголом. Разбирать её логичнее всего с корня, а не с суффикса, потому что именно в корне главная загадка.

В русских говорах (особенно северных и уральских) слово «чихрить» означало «чихать», «кашлять» или «издавать хриплые звуки». Соответственно, «чихра» или «чихря» — прозвище человека с характерным кашлем, хроническим насморком или сиплым голосом. Скорее всего, прозвище Чихрей (Чихрай) дали тому, кто постоянно покашливал или чихал, — не от болезни, а от яркой, запоминающейся особенности. В крестьянской среде такие «физиологические» прозвища были обычным делом: они не несли оскорбления, а просто выделяли человека среди односельчан.

Модель образования проста: основа «чихр-» + суффикс -еев. Это вариант фамилии на -ев, где конечный «-ей» прозвища перешёл в «-еев» (Чихрей → Чихреев). Аналогично образованы фамилии Бобреев, Кудреев, Хохреев. Суффикс -ов/-ев — самый распространённый в русских фамилиях, он указывает на принадлежность: «сын Чихрея».

Версия о связи с тюркским корнем (например, «чихир» — «крепкий», «сильный») менее правдоподобна: фамилия не имеет характерных тюркских суффиксов, а звуковой облик «чихр-» типичен именно для русских диалектных звукоподражаний. Кроме того, для фамилий от прозвищ по болезни или кашлю есть параллели: Чихаев, Чихов, Кашляев — все они встречаются в тех же регионах.

По географии Чихреевы редки, но прослеживаются в основном в центральных и северных областях России (Вологодская, Костромская, Ярославская). Это косвенно подтверждает версию о севернорусском диалектном происхождении. Сословно — почти наверняка крестьянская фамилия: прозвище, данное в деревне, не могло возникнуть у дворян или духовенства.

Если ваш предок носил фамилию Чихреев, он, скорее всего, был крестьянином из северной или центральной России, а родоначальник получил прозвище за привычку чихать или хрипеть. Никакой тайны или знатного происхождения — просто яркая бытовая деталь, закрепившаяся в роду.