Фамилия Дабич встречается редко, и её корни уходят в южнославянскую языковую среду, прежде всего в сербскую, хорватскую и словенскую. Она образована по типичной для этих народов модели с суффиксом -ич, который в славянском мире выполняет роль указателя на принадлежность или происхождение. В сербском и хорватском языках -ич — это аналог русского -ович/-евич, то есть «сын такого-то» или «потомок». Соответственно, основа Даб- указывает на имя или прозвище родоначальника.

Самая вероятная версия связывает фамилию с личным именем Дабиша или Дабивоj (Дабивой), которые были распространены в средневековой Сербии и Боснии. Имя Дабивой состоит из двух частей: «даби» (от глагола «дати» — дать) и «воj» (воин). Таким образом, имя могло означать «данный воином» или «подаренный войском» — типичный для того времени оберег или пожелание силы. Со временем полное имя сократилось до Дабич, а суффикс закрепил значение «потомок Дабивоя» или «из рода Дабичей».

Второй, менее вероятный вариант — происхождение от прозвища «Даба» или «Даб», которое могло относиться к человеку, что-то дающему, щедрому, либо, напротив, к тому, кто «даёт» в смысле «сдаётся» или уступает. Однако в ономастике прозвищная основа для фамилии на -ич встречается реже, чем патронимическая, поэтому версия с именем Дабивой выглядит убедительнее.

Географически фамилия Дабич чаще всего фиксируется на Балканах: в Сербии, Черногории, Боснии и Герцеговине, а также в Хорватии. В России и других славянских странах эта фамилия — результат миграций, в основном в XX веке. В русском языке фамилия склоняется по мужскому роду как существительное второго склонения (Дабича, Дабичу), а в женском остаётся неизменяемой. Из-за редкости фамилия не попала в массовые дореволюционные справочники, поэтому проследить её сословную принадлежность по русским данным невозможно — скорее всего, предки носителя принадлежали к крестьянскому или военному сословию на Балканах.