Фамилия Дагай — редкий случай, когда за коротким словом стоит несколько разных, почти не связанных друг с другом историй. В зависимости от того, в какой среде возникло прозвище, предки могли быть и мусульманскими наставниками, и тюркскими кузнецами.

Первая и наиболее вероятная версия ведет к арабской основе «даги» — «зовущий, призывающий, наставляющий», а также «читающий молитву». Аффикс -ай, распространенный в тюркских языках, превращает корень в личное имя. В таком случае Дагай — это именование человека, который выполнял религиозные функции: муллы, проповедника, учителя. Фамилия, скорее всего, оформилась у тюркоязычных народов, принявших ислам, — у татар, башкир, народов Кавказа.

Вторая версия отсылает к древнетюркскому нарицательному «дага» — «подкова». Прозвище Дагай могли дать мастеру-кузнецу, который подковывал лошадей. Такое занятие было уважаемым и заметным, поэтому прозвище легко закреплялось за родом. В пользу этой гипотезы говорит конкретность и бытовая узнаваемость основы — в отличие от книжного арабского корня, с «подковой» всё наглядно.

Важно не путать фамилию Дагай с тюркскими фамилиями на -оглы (в переводе «сын, потомок»). В фамилии Дагай такого компонента нет, поэтому связывать её с турецкой или гагаузской моделью образования не стоит. Это самостоятельная фамилия, образованная напрямую от прозвища или имени.

Таким образом, Дагай может быть как «зовущим к вере», так и «кузнецом». Выбор между версиями — это вопрос географии и семейного предания. Если предки были из татарских или кавказских мусульманских селений, вероятнее религиозный корень. Если из кочевых или полукочевых тюркских народов, где лошадь была основой хозяйства, — ремесленный.