Фамилия Далынина — это женская форма, а её мужской вариант — Далынин. В русской фамильной системе суффикс -ин указывает на принадлежность: Далынин означает «сын Далыни» или «человек из рода Далыни». Сама основа — Далыня — звучит непривычно, но за ней стоит вполне конкретное древнерусское прозвище.

Ключ к разгадке — в слове «даль». В старых говорах «далыня» или «дальня» могли называть человека, который живёт на отшибе, в отдалённом месте, или того, кто пришёл издалека. Такое прозвище легко давали переселенцу, чья прежняя родина осталась далеко позади. В некоторых диалектах слово «даль» имело и переносное значение — «отчуждённый, нелюдимый человек», то есть тот, кто держится особняком.

Фамилия Далынин — редкая, и её география подтверждает версию с «далью». Основные очаги бытования — северные и северо-восточные области России: Архангельская, Вологодская, Кировская. Именно в этих краях, где деревни стояли на большом расстоянии друг от друга, а переселенцы осваивали глухие леса, прозвище «Далыня» было особенно уместным. По моделям словообразования она родственна фамилиям Дальнев, Дальников, Дальнин — все они восходят к тому же корню.

В словаре Б. Унбегауна «Русские фамилии» упоминается, что фамилии на -ыня встречаются реже, чем на -иня, и часто имеют диалектное или просторечное происхождение. Форма «Далыня» — яркий пример такого народного словообразования: не книжное «дальний», а живое, разговорное «далыня». Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были крестьянами или посадскими людьми из северных губерний, а само прозвище закрепилось за первопоселенцем, который обосновался «в далях» от основной округи.