Фамилия Дамарова происходит от мужского имени или прозвища Дамар. Основа — тюркское слово «дамар» (жила, вена, пульс) или арабское «дамар» (разрушение, гибель). В обоих случаях прозвище могло принадлежать человеку с заметной внешней особенностью — например, с выпуклыми венами на руках, — либо, по второй версии, неспокойному, воинственному человеку, от которого «все бегут». Фамилия образована по стандартной русской модели с суффиксом -ов: Дамар → Дамаров → жена Дамарова. Это типичная «патронимическая» фамилия, то есть указывающая на отца: Дамаров — сын Дамара.

В русском языке фамилии на -ов/-ев традиционно закреплялись за крестьянами и мещанами, реже — за купечеством. Дамаровы не принадлежали к дворянским родам: в «Общем гербовнике» фамилия не значится, в дореволюционных справочниках титулованных семей её тоже нет. Скорее всего, предки носителя фамилии были крестьянами или ремесленниками южных губерний России, где тюркское влияние на ономастику особенно сильно — в Поволжье, Приуралье, на Кубани.

Интересная деталь: ударение в фамилии может падать как на второй слог (Дамáрова), так и на третий (Дамарóва). Второй вариант — более старый, он сохраняет ударение исходного прозвища (Дамар). Первый вариант — результат обрусевания, когда ударение смещается на суффикс, как в большинстве фамилий на -ов. Если ваши предки жили в татарско-башкирской среде, ударение, скорее всего, было на корне.

Прямых аналогов в русской ономастике немного. Ближайшие родственные фамилии — Дамаров (мужская форма), Дамарский (с суффиксом -ский, указывающим на географическое происхождение), а также редкие Дамарин и Дамарцев. Все они восходят к тому же корню, но разошлись по разным регионам в XVI–XVIII веках.