Фамилия Дамбовский — это вариант написания, который встречается реже, чем более распространённая Домбровский. В обоих случаях в основе лежит географическое название. Корень «дамб-/домб-» — это польское или белорусское «дąb» (дуб), которое в русской передаче часто теряло носовой звук и превращалось в «домб» или, с оглушением, в «дамб». Суффикс -овский указывает на дворянское или шляхетское происхождение: так образовывали фамилии владельцев имений или выходцев из конкретного места. Дамбовский — значит «родом из Дамбровы», то есть из местности, названной по дубовой роще.

Топонимов с корнем «дуб» в Польше, Беларуси и на Украине десятки: Домброва, Домбровка, Домбровица. Носитель фамилии Дамбовский, скорее всего, происходил из шляхетского рода, владевшего землёй в такой местности, либо переселился оттуда и получил фамилию по месту прежнего жительства. Вариант с «а» вместо «о» мог закрепиться из-за акающего произношения в южнорусских или белорусских говорах, а также из-за ошибок писарей при записи.

Интересная деталь: в отличие от фамилий на -ин или -ов, которые у крестьян и мещан часто образовывались от имени или прозвища отца, суффикс -ский в Российской империи долго оставался маркером привилегированного сословия. Поэтому, хотя сегодня Дамбовский может носить кто угодно, исторически его носители — это обедневшая шляхта, которая после разделов Речи Посполитой переходила на русскую службу или уходила в мещанство. Встречается фамилия в западных регионах России, Беларуси, а также среди потомков польских переселенцев в Сибири.

В написании через «а» фамилия практически отсутствует в классических ономастических словарях — её обычно приводят как фонетический вариант к Домбровскому. Это не ошибка, а живое свидетельство того, как устная речь меняла письменную форму фамилии.