Фамилия Даний — редкая и неочевидная. В ней нет привычного русского суффикса -ов или -ин, а окончание -ий скорее напоминает прилагательное или фамилию латинского происхождения. Но если отбросить это ощущение, корень оказывается простым и древним.

Скорее всего, основа фамилии — каноническое мужское имя Даниил. В русской народной речи его часто сокращали до Даня или Данило. От этих форм и образовались фамилии Данин, Данилов, Данильченко. Но Даний — случай особый: это не притяжательное прилагательное («чей?» — Данин), а усечённая форма, где от имени осталась только основа «Дан» плюс окончание -ий. Такая модель встречается редко, но она существует: например, фамилии Родий, Назарий, Полий — все они восходят к полным именам (Родион, Назар, Поликарп) через ту же схему.

Есть и вторая, менее вероятная версия. В польском языке слово «dani» означает «данный», а в белорусском «данiй» — «дарованный». Теоретически фамилия могла возникнуть как прозвище ребёнка, которого долго ждали или «даровали» свыше. Но для такой версии нет массовых подтверждений: фамилия Даний не встречается в польских и белорусских списках часто. Поэтому версия с именем Даниил выглядит гораздо правдоподобнее.

Географически фамилия почти не привязана. Она не фиксируется в традиционных казачьих или крестьянских реестрах, не встречается плотно в каком-то одном регионе. Это говорит о том, что её носители — скорее единичные семьи, а не большие роды. Возможно, фамилия возникла в среде грамотных людей или священнослужителей, которые иногда переделывали простонародную форму имени в более книжный вариант.

Сравните с однокоренными фамилиями: Данилов — самая массовая, Данин — редкая, а Даний — почти штучная. Если ваша фамилия Даний, то предок, скорее всего, носил имя Даниил, но по какой-то причине его записали не в стандартной форме, а в сокращённой, приближенной к именительному падежу. Такое могло случиться при переписи или при оформлении документов в XIX веке, когда писарь записывал имя «на слух» и не добавлял типичного суффикса.

Больше сказать о фамилии нечего: известных носителей с такой фамилией в истории нет, этимологические словари её не разбирают. Но это не минус, а особенность — вы держите в руках редкую форму, которая сохранила первоначальный вид имени почти без изменений.