Фамилия Даной — редкая и неочевидная для русского уха. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин или -ский, которые сразу выдают типичную русскую фамилию. Поэтому первая и самая вероятная версия её происхождения — не русская, а западноевропейская или еврейская.

Скорее всего, фамилия Даной — это русифицированная форма французской фамилии Danoy или Danoye. Во Франции такие фамилии часто образовывались от топонимов — названий небольших местечек или ферм с частицей «d’Anoy» (из Аннуа) или «d’Anoye». Переселенцы из Франции, особенно гугеноты, бежавшие в Россию в XVIII–XIX веках, могли привезти эту фамилию с собой. На русской почве артикль слился с корнем, и получилось «Даной». В пользу этой версии говорит и то, что окончание «-ой» в русских фамилиях встречается редко и почти всегда является застывшим прилагательным (Толстой, Косой), но основа «дан-» для такого прилагательного нехарактерна.

Вторая, менее распространённая версия, связывает фамилию с еврейским или ашкеназским происхождением. В этом случае Даной могла быть образована от имени Дан (внук библейского Иакова) с добавлением суффикса принадлежности «-ой» или «-ай», что встречается в некоторых еврейских фамилиях, записанных на идише или иврите. Однако такая модель для еврейских фамилий скорее исключение, чем правило, и не подкрепляется массовыми данными.

С точки зрения словообразования, если всё же предположить русскую основу, то можно вспомнить диалектное слово «дан» — в некоторых говорах так называли подать, дань. Тогда Даной — это прозвище сборщика податей или человека, который её платил. Но это лишь гипотеза, и она уступает по убедительности французской версии.

География фамилии Даной на территории бывшей Российской империи не обширна. Единичные носители встречаются в записях XIX века среди дворян и купцов западных губерний, что косвенно подтверждает связь с европейскими переселенцами. В современной России фамилия остаётся очень редкой.

Таким образом, если вы ищете свои корни, стоит в первую очередь проверить документы на наличие французских предков или следов гугенотской миграции. Это и есть та самая нить, которая ведёт к реальному значению фамилии Даной — скорее всего, к названию места во Франции.