Фамилия Даныш — редкий случай, когда корень почти наверняка указывает на географию предков. Основа «даныш» восходит к тюркскому слову «даныш» или «данышма» — «знание», «мудрость», «учёность». В татарском, башкирском и казахском языках это слово сохранило значение «умный, сведущий человек». Соответственно, фамилию могли дать либо как прозвище грамотею, знахарю или учителю, либо как почётное именование человека, к чьему совету прислушивались.

Суффикса в привычном русском понимании у фамилии нет — она вошла в русский обиход в почти неизменной тюркской форме. Это отличает её от множества фамилий на -ов/-ев или -ин, которые образовывались от прозвищ уже на русской почве. Даныш — скорее «готовая» фамилия, которую принесли с собой переселенцы из Поволжья, Приуралья или Средней Азии. Встречается она преимущественно у татар, башкир, реже — у казахов и народов Кавказа.

Есть и менее вероятная версия: связь с арабским «даниш» (دانش) — «знание», которое через персидский язык попало в тюркские наречия. Но в таком случае фамилия могла бы писаться через «и» — Даниш, а форма Даныш с твёрдым «ы» характерна именно для тюркской фонетики. Поэтому версия с тюркским корнем надёжнее.

Интересная деталь: в некоторых говорах татарского языка «даныш» означало ещё и «сват» или «посредник» при сватовстве. Если предок носителя фамилии был деревенским сватом, это тоже могло закрепиться в прозвище. В любом случае, перед нами фамилия-характеристика, которая давалась человеку за ум, образованность или общественную роль, а не за ремесло или внешность.

В России фамилия редкая, в основном встречается в Татарстане, Башкортостане и Оренбургской области. В дореволюционных метрических книгах она почти не фиксируется — это говорит о том, что массово её стали записывать в советское время, когда у многих тюркских народов появились паспорта с унифицированными фамилиями.