Фамилия Дербишер — редкий пример, где внешне «английское» звучание обманчиво, а корни, скорее всего, ведут в немецкую языковую среду. Если не вдаваться в детали, можно подумать, что перед нами выходец из британского графства Дербишир (Derbyshire). Эта версия существует, но ономасты считают её малоправдоподобной: фамилии, образованные от названий английских графств, в России практически не встречались, а прямой перенос топонима без адаптации (без суффикса -ский, -ов) для русской традиции нетипичен.

Гораздо убедительнее выглядит версия, собранная из двух немецких слов. Первая часть — derb (крепкий, дюжий; грубый, простой). Вторая — Wischer (тряпка, щетка, а также тот, кто вытирает). Соединившись, эти основы дают прозвище, которое могло относиться к дворнику или уборщику — человеку, чья работа была грубой, но требовала силы и выносливости. В таком случае фамилия Дербишер — это профессиональное прозвище по роду занятий, типичное для немецких фамилий, образованных сложением двух корней (как, например, Брандмайер или Шварцкопф).

Словообразовательная модель здесь проста: фамилия осталась без русского суффикса, то есть перешла в русский обиход в «чистом» виде, как застывшее прозвище. Это указывает на относительно позднее появление — скорее всего, в XVIII–XIX веках, когда в Россию переселялись немецкие колонисты или мастера. Суффиксов -ов, -ев или -ин в фамилии нет, что тоже говорит о её нерусском, западном происхождении.

Таким образом, если ваш предок носил фамилию Дербишер, он с высокой вероятностью был немцем по происхождению и занимался чёрной работой, связанной с уборкой или содержанием в порядке какого-либо помещения. Английская версия — не более чем любопытное совпадение, которое, увы, не выдерживает проверки историей языка.