Фамилия Дербышкин образована от прозвища или нецерковного имени Дербышка. Основа здесь — тюркское слово «дербыш», то есть «дервиш»: странствующий мусульманский монах, аскет. В русских говорах это слово закрепилось в форме «дербыш» или «дербиш» и могло означать не только религиозного человека, но и вообще нищего, бродягу, чудаковатого или нелюдимого человека. Суффикс -к- в основе Дербышка — типичный для русских уменьшительных или обиходных форм личных имён и прозвищ (ср. Тимошка, Федька, а также прозвища вроде Заморышек). А суффикс -ин в окончании фамилии указывает на принадлежность: Дербышкин буквально значит «сын Дербышки» или «человек из семьи Дербышкиных».

Географически фамилия тяготеет к Поволжью и Приуралью — регионам, где веками соседствовали русские и тюркские народы. Самый известный топоним — посёлок Дербышки под Казанью. Это не случайно: в татарской среде слово «дәрвиш» (дервиш) было распространённым личным именем, а в русской среде его могли давать как прозвище человеку, который вёл себя как отшельник или нищий. В некоторых случаях фамилия могла возникнуть и от названия населённого пункта, если предок был выходцем из Дербышек, но первичным, скорее всего, было именно прозвище.

Словообразовательная модель проста и прозрачна: тюркский корень + русский уменьшительный суффикс + фамильный суффикс -ин. Такая схема типична для фамилий, образованных от прозвищ на -ка: Дербышка → Дербышкин, как Козявка → Козявкин, Шишка → Шишкин. Фамилия недворянская, скорее крестьянская или мещанская — суффикс -ин в русских фамилиях чаще всего указывает на непривилегированное происхождение, в отличие от -ов/-ев у знати. Встречаемость фамилии невысокая, она редкая даже в Татарстане, где сосредоточена основная масса носителей.

Если у вас фамилия Дербышкин, то наиболее вероятная история предка — это человек, получивший прозвище за внешность, поведение или образ жизни, напоминавшие дервиша: возможно, он был странником, не имел постоянного дома или просто выделялся необычным, отрешённым нравом. Никаких документальных подтверждений о дворянском роде Дербышкиных не существует — фамилия осталась в народной среде.