Фамилия Десятеик — редкий случай, когда в основе лежит не имя и не профессия, а число. В народной счётной практике «десятеик» означал десятую часть чего‑либо, чаще всего — меру земли или долю урожая. В крестьянском быту так могли называть человека, который обрабатывал надел размером в десятину, либо того, кто отдавал десятину — десятую часть дохода — в церковь или общину. Прозвище закреплялось за хозяином такого участка или за сборщиком этой доли.

Словообразовательная модель здесь нестандартная. В русских фамилиях суффикс -ик обычно указывает на принадлежность к чему‑либо по действию или предмету (ср. Плотник, Сапожник). В случае Десятеик основа «десяте-» — не от отчества, а от числительного в форме родительного падежа, что встречается редко. Обычно такие фамилии образовывались через -ов/-ев (Десятов), но вариант с -ик указывает на прозвищное происхождение: человека не называли по отцу, а окликали по его доле или занятию.

Географически фамилия тяготеет к южнорусским и малороссийским говорам, где счётные прозвища были распространены. В северных и центральных регионах чаще встречалась фамилия Десятов — от того же корня, но по иной модели. Десятеик могла возникнуть в среде однодворцев или казаков, где земельные наделы строго мерили десятинами, а прозвище фиксировало социальный статус домохозяина.

В письменных источниках фамилия почти не встречается — это говорит о её локальном бытовании и, вероятно, поздней фиксации. В XIX веке её могли записать со слуха, отсюда варианты вроде Десятеек или Десятеиков. Спорных версий две: связь с личным именем Десятый (от десятого ребёнка в семье) или с числом 10 как символом полноты. Первая маловероятна — имя Десятый было редкостью и обычно давалось не по счёту, а по обету. Вторая — натяжка, так как прозвище Десятеик всегда привязывалось к конкретной хозяйственной доле, а не к отвлечённому числу.

Итог: если вы носите фамилию Десятеик, ваши предки скорее всего были крестьянами или казаками, чей быт и достаток меряли десятиной земли. Фамилия не дворянская, не купеческая — она из тех, что рождались прямо в поле, при дележе урожая или переписи наделов.