Фамилия Дибай — редкая, и её происхождение неочевидно. Скорее всего, у неё не один, а два возможных источника, и оба связаны с разными языковыми традициями.

Первый и самый правдоподобный путь — украинский или белорусский. В этих языках существует слово «дибати» — «ходить медленно, ступать осторожно, красться» (отсюда же «дибки» — на цыпочках). Прозвище Дибай могли дать человеку с тихой, крадущейся походкой или, наоборот, тому, кто любил ходить медленно и важно. Форма фамилии на -ай характерна именно для западнорусских земель: в украинской и белорусской ономастике так образуются фамилии от глагольных прозвищ (сравните: Шуляй, Гуляй, Ступай). Суффикс -ай здесь не уменьшительный, а указывает на деятеля — «тот, кто дибает».

Вторая версия — тюркская. Корень «дибай» мог возникнуть из татарского или башкирского «дибай» (диуана, дивана) — «юродивый, чудак, безумец». В мусульманских культурах такое прозвище не всегда было оскорбительным: юродивых нередко считали святыми людьми. Однако эта гипотеза слабее, потому что в русских фамилиях тюркские основы обычно обрастают славянскими суффиксами (-ов, -ев), а здесь мы видим чистый корень без типичного окончания. Если бы фамилия была тюркской по происхождению, она скорее выглядела бы как Дибаев.

Географическая привязка фамилии Дибай — западные регионы бывшей Российской империи: современные Украина, Беларусь, юго-запад России. Встречаемость низкая, что говорит о локальном прозвище, которое не разошлось широко. Сословно носители, скорее всего, были крестьянами или казаками: прозвища такого типа редко давали дворянам.

Таким образом, если ваши предки — из украинских или белорусских земель, фамилия, вероятно, описывала их походку или манеру поведения. Если же корни уходят в татарскую среду, значение могло быть другим — «чудак» или «блаженный», но эта версия менее надёжна.