Фамилия Дибижева — редкий случай, когда география бытования подсказывает больше, чем лингвистика. Основной ареал сегодня — село Хасаут и так называемые «нохутские» греки на юге России. Появление фамилии в этой среде связано с историей переселения: в 1861–1863 годах греческие ходоки осматривали земли Ставропольской губернии, а затем около трёхсот семей образовали там колонию. Однако сама фамилия, скорее всего, не греческая, а пришла в эту среду из другого языка.

Разбираем словообразовательную модель. Суффикс -ев- указывает на притяжательное значение («чей?» — Дибижев), а основа — прозвище Дибижа. Тут возможны две версии, и обе имеют право на существование.

Первая версия — тюркская. Прозвище могли образовать от слова «dibek» (или «dibekgi») — «большая ступа». В таком случае Дибижей называли человека, который толок зерно или сбивал масло. Это ремесленное прозвище, типичное для бытовой ономастики.

Вторая версия — молдавская (румынская). Известен молдавский господарь Эстратий Дибижа, правивший в 1661–1665 годах. Фамилия знатного рода могла закрепиться и в других слоях населения. Румынское слово «dibăcie» означает «ловкость, проворство» — тогда прозвище характеризовало человека по его сноровке. Упоминания о фамилии Дибижа в молдавских документах делают эту гипотезу не менее весомой, чем тюркская.

Так что перед нами фамилия, которая прошла через несколько языковых сред: попала к греческим переселенцам, но корнями уходит либо в тюркское ремесло, либо в молдавскую аристократию. Однозначного решения здесь нет, и это как раз тот случай, когда обе версии стоит принимать как равновероятные.