Фамилия Диваев — яркий пример того, как прозвище, данное по внешности или характеру, превратилось в родовое имя. Корень здесь — тюркское слово «дивана» или «диване», которое в русском языке закрепилось в значении «безумный, сумасшедший, юродивый». В татарском, башкирском и других тюркских языках это слово не имело резко отрицательного оттенка: «дивана» могли называть человека не от мира сего, блаженного, странного чудака, а иногда — дервиша или аскета, чьё поведение казалось окружающим необъяснимым.

Модель образования типична для русских фамилий восточного происхождения: основа «Дивай» (усечённая форма от «Дивана») плюс суффикс принадлежности -ев. Суффикс указывает на то, что фамилия сформировалась в среде, где преобладала модель «чей?» — то есть «сын Дивая» или «человек из рода Дивая». Если бы прозвище звучало как «Диван», фамилия была бы Диванов; форма Диваев говорит о том, что в основе лежало имя или прозвище на мягкий согласный или на «й».

Географически фамилия тяготеет к регионам, где издавна были сильны тюркско-русские контакты: Поволжье, Приуралье, Оренбуржье. Встречается она и у русских, и у татар, и у башкир — причём у последних нередко в исходном написании Диваев или в форме Диванов. В русских переписных книгах XVII века уже упоминаются крестьяне и служилые люди с таким прозвищем, что говорит о давнем бытовании фамилии среди разных сословий.

Интересная деталь: фамилия Диваев не имеет никакого отношения к слову «диван» в значении «мебель». Это позднее заимствование из французского, и в русском языке оно закрепилось только в XVIII веке, тогда как прозвище Дивай фиксируется на столетие раньше. Таким образом, если ваш предок носил фамилию Диваев, его могли прозвать за необычное поведение, за склонность к чудачествам или за то, что он вёл себя как юродивый — в старом, не осуждающем смысле этого слова.