Фамилия Добаи настолько редкая, что в привычных академических словарях русских фамилий (Унбегаун, Никонов, Веселовский) её нет. Это не случайность: перед нами, скорее всего, не исконно русская, а заимствованная или искусственно созданная фамилия, и её разбор требует отхода от стандартных шаблонов.

Первое, что бросается в глаза — окончание «-аи». В русской модели фамилий такой суффикс не встречается. Фамилии на -ай (Каратай, Мамай) или -ей (Андрей) есть, но -аи — это либо иноязычное окончание, либо результат поздней фиксации на письме. Наиболее вероятная версия: фамилия имеет венгерские корни. В венгерском языке фамилия Dobai (произносится как «Добаи») вполне реальна и означает «из Доба» — то есть выходец из населённого пункта Доба (такие топонимы есть в Венгрии). Венгерские фамилии на -i (аналог русского -ский) как раз указывают на происхождение из определённого места. Если предки носителя фамилии переселились в Россию или Украину из Австро-Венгерской империи, окончание могло сохраниться без изменений, а ударение сместиться на последний слог.

Вторая, менее вероятная, но возможная версия — фамилия происходит от прозвища Доб или Доба, которое могло быть связано с диалектным глаголом «добать» (добавлять, прибавлять) или словом «добрый» в южнорусских говорах. Но в этом случае мы бы ожидали типичные русские окончания -ов, -ин или -ский (Добов, Добин, Добский). Форма Добаи для русского прозвища аномальна, поэтому эту гипотезу можно рассматривать только как маловероятную, если не доказана связь с конкретным регионом, где такое окончание закрепилось через польское или украинское влияние.

Поскольку фамилия крайне редкая, её география, скорее всего, точечная. Носители Добаи в России и странах бывшего СССР — это потомки венгерских военнопленных, переселенцев или специалистов, приехавших в XIX—XX веках. Встретить такую фамилию можно в Закарпатье, где исторически сильны венгерские влияния, или в крупных городах, куда мигрировали специалисты из Австро-Венгрии. В русском контексте фамилия не даёт информации о сословии предков: венгром мог быть и крестьянин, и дворянин.

Таким образом, главный ключ к фамилии Добаи — её нерусское происхождение. Если вы ищете свои корни, стоит проверить венгерские архивы и населённые пункты с названием Доба. Фамилия не имеет отношения к «добавлению» или «доброте» в русском языке — это указание на конкретное место, откуда пришёл ваш предок.