Фамилия Добросклонская — женская форма фамилии Добросклонский, и её разбор стоит начать не с корня, а с необычного суффикса. Модель на -ский (с вариантом -ской) в русских фамилиях чаще всего указывает на происхождение от географического названия или от прозвища-прилагательного. В случае Добросклонских всё иначе: фамилия искусственная, семинарская. Её давали в духовных училищах и семинариях воспитанникам, чьи природные фамилии казались начальству слишком простыми или неблагозвучными. Вместо Попова или Смирнова студент получал «говорящую» фамилию, составленную из двух основ, нередко — с отсылкой к христианским добродетелям.

Основа здесь — «добро» и «склон» (от глагола «склоняться»). В буквальном смысле Добросклонский — «склонный к добру», «благорасположенный». Это типичный пример семинарского благочестивого перевода: фамилия как бы кодировала пожелание или характеристику, которую церковное начальство хотело видеть в будущем священнике. Аналогов много — Добролюбов, Доброхотов, Добромыслов. Примечательно, что суффикс -ск- в таких фамилиях выполняет не притяжательную роль (как в Петровский — от Петрова), а адъективную: он превращает словосочетание в прилагательное, которое можно было закрепить за родом.

Географически фамилия Добросклонский (и Добросклонская) распространена в центральных губерниях России — там, где работали духовные семинарии: Владимирская, Костромская, Ярославская, Московская. Встречается и на Урале, куда семинаристов распределяли после выпуска. В XIX веке носители этой фамилии — почти исключительно лица духовного звания: священники, диаконы, псаломщики, реже — учителя церковноприходских школ. Крестьянских или купеческих Добросклонских практически нет: фамилия выдаёт сословное происхождение.

В ономастических справочниках (например, у Б. Унбегауна в разделе об искусственных фамилиях) Добросклонский обычно приводят как пример «семинарского идеализма». Споров о происхождении нет — версия с благочестивым сложением основ единственная и бесспорная. Редкие альтернативные объяснения (от прозвища «Добрый склон» — якобы человека, жившего на хорошем склоне холма) не выдерживают критики: в русской топонимике нет устойчивых названий с такой конструкцией, да и суффикс -ск- в фамилиях от прозвищ встречается несравнимо реже, чем в семинарских.

Если вы ищете свои корни, стоит обратить внимание на метрические книги церквей центральной России середины XVIII — начала XIX века. В них Добросклонские фигурируют как священно- и церковнослужители. Фамилия не редкая, но и не массовая — её носители составляют узкую прослойку образованного духовенства, что само по себе уже даёт ключ к поиску предков.