Фамилия Докаш — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. В ней нет ни типичного русского суффикса -ов или -ин, ни украинского -енко. Такое окончание сразу указывает либо на западнославянское влияние (польский, словацкий), либо на искусственное переоформление фамилии в советское время, когда нерусские окончания иногда обрезали или меняли.

Самая вероятная версия — западнославянская основа. В польском и словацком языках есть слово «dokasz» или «dokaszać» — означающее «докучать», «досаждать», «приставать». Фамилия могла возникнуть как прозвище человека надоедливого, навязчивого или, наоборот, того, кто постоянно шутил и «докашивал» (в значении «подкалывал», «доставал»). В белорусском языке есть похожий глагол «дакараць» — упрекать, укорять, что даёт вторую, близкую по смыслу версию: прозвище Укор, Упрёк.

Морфологически фамилия проста: корень «док-» и суффикс «-аш». Суффикс -аш характерен для прозвищ в польской и южнорусской традиции (сравните: Горбаш, Малыш, Долгаш). Он придаёт слову оттенок характерности, постоянного признака. Так что Докаш — это не случайный звук, а прозвище по поведению: «тот, кто докашивает, докучает».

Географически фамилия встречается в основном на западе Беларуси, в Польше и среди потомков переселенцев из этих регионов в Сибири и на Дальнем Востоке. В России она крайне редка. Социально предки-носители фамилии скорее всего были крестьянами или мещанами — прозвища такого типа редко давали дворянам.

Есть и менее убедительная версия — связь с тюркским корнем «док» (сытый, полный) или с цыганским «докха» (горе, беда). Но она не подкрепляется географией распространения и типичной словообразовательной моделью для славянских фамилий. Поэтому основная гипотеза — славянское прозвище по характеру, которое закрепилось как фамилия в форме чистой основы без патронимического суффикса.