Фамилия Домагацкий — один из тех случаев, когда прозрачная на первый взгляд основа обманчива. Если разбить её на части, слышится глагол «домагать» — в русских говорах это значит «досаждать, надоедать, приставать» (отсюда же «докука», «докучать»). Так могли прозвать человека настойчивого, въедливого, того, кто постоянно «домагается» к кому-то с просьбами или разговорами. Однако не всё так однозначно.

Словообразовательная модель указывает на типично польский или западнорусский (белорусский, украинский) суффикс -цкий. В русской традиции фамилии на -цкий чаще всего дворянские или семинарские, но Домагацкий — скорее исключение. Скорее всего, это вариант фамилии Домагала или Домагальский, где суффикс -цкий появился уже при русификации или переходе в православную среду. В польском языке «domagać się» — «требовать, добиваться», и прозвище Domagała давали человеку настойчивому, упрямому. Фамилия могла прийти в Россию вместе с выходцами из Речи Посполитой после разделов Польши или с переселенцами из западных губерний.

Есть и другая, более редкая версия: от географического названия. В Польше и на Западной Украине встречаются топонимы вроде Домагали, Домагаче, но они не настолько известны, чтобы считать их основным источником. Спор решается просто: если бы фамилия была чисто топонимической, мы бы знали о селе Домагацк или Домагачи, но таких данных нет. Значит, в основе — прозвище по характеру или поведению.

Фамилия остаётся немногочисленной. Она не входит в списки самых распространённых русских фамилий, но вполне узнаваема в среде потомков польской шляхты и западнорусского мещанства. Встречается в основном в центральных областях России и в Сибири — туда носители могли попасть в ходе переселений XIX века. В дореволюционных записях Домагацкие фигурируют как крестьяне и мещане, реже — как купцы, что подтверждает: дворянского статуса за этой фамилией не закрепилось.

Коротко: ваш предок получил прозвище за настойчивость или требовательность, а окончание -цкий добавилось по польской или западнорусской моде. Фамилия не выдумана в канцелярии — она живая, разговорная, и в ней слышен характер того самого «домагающегося» человека.