Фамилия Досько — характерный пример фамилии на -ко, распространённой в западнорусских землях, особенно на территории современной Беларуси и Украины. Такие фамилии (ср. Шевченко, Бондаренко, Ковалько) в XVI–XVII веках активно формировались в среде казачества, крестьянства и мещанства, и суффикс -ко часто указывал на уменьшительность или принадлежность к роду. В случае Досько основа, скорее всего, восходит к народной форме крестильного имени Досифей или Досифейка. В просторечии это имя нередко сокращалось до Дось, Досько — так могли звать младшего члена семьи или сына Досифея.

Менее вероятна, но возможна связь со словом «дось» — в некоторых говорах так называли человека, который «досылает» или «доделывает» что-то, но это скорее случайное созвучие, нежели устойчивая основа. Основная версия — от имени. В пользу этого говорит и то, что в белорусской ономастике фамилии на -ко от канонических имён — частое явление: от Иван — Иванько, от Степан — Стецько, от Досифей — Досько.

Интересно, что фамилия Досько не получила широкого распространения в великорусских землях, где преобладали фамилии на -ов/-ев. Её ареал — в основном Гродненская, Минская и Брестская области, а также прилегающие районы Польши. Это типичная фамилия-патроним, которая закрепилась в документах в XVI–XVIII веках, когда шла массовая фиксация крестьянских и казачьих фамилий. Носители фамилии, скорее всего, были людьми свободного состояния или казаками, а не крепостными, потому что именно в этих социальных группах фамилии на -ко встречаются особенно часто.