Фамилия Досиченко звучит как украинская, и это первое, что бросается в глаза: суффикс -енко (в украинской традиции часто передаётся как -енко, но в русском написании закрепился вариант -енко) указывает на патроним, то есть на происхождение от отца. В украинской ономастике -енко — один из самых распространённых формантов, буквально означающий «маленький, сын такого-то». Поэтому Досиченко — это «сын или потомок Досика» или «Досички».

Корень здесь — Дос- или Доси-. В украинском языке есть слово «досити» (достаточно, довольно), которое могло лечь в основу прозвища. Человек, которого прозвали Досить, мог быть тем, кто всегда говорил «хватит», или, наоборот, тем, кто довольствовался малым. Но более вероятно, что это вариант крестильного имени Досифей (от греческого «досифеос» — дар Божий). В народной среде Досифей часто сокращался до Дось, Досик, Досичка, а от этих уменьшительных форм и пошла фамилия. Унбегаун в своих работах отмечает, что украинские фамилии на -енко часто образовывались именно от обиходных вариантов церковных имён.

Интересно, что фамилия редкая. Она почти не встречается в центральных и северных регионах России, зато её можно найти в исторических записях Черниговской, Полтавской и Харьковской губерний — на территории бывшей Гетманщины, где фамилии на -енко формировались особенно активно в XVII–XVIII веках среди казачества и крестьянства. Сословного барьера у такой фамилии не было: её носили и казаки, и мещане, и крестьяне.

Стоит обратить внимание на написание. Встречаются варианты Досеченко, Досиченко, Досыченко — это следствие аканья или диалектного произношения. В украинском языке под ударением чётко слышится «и», поэтому написание через «и» (Досиченко) считается исходным. Если ваш предок писался через «е», это могло быть результатом русификации документа.

В целом, Досиченко — типичная украинская фамилия, образованная от личного имени или прозвища, которая говорит о том, что предок её носителя был сыном человека по имени Досик или Дось. Никаких сложных этимологических загадок здесь нет — перед нами простая и ясная модель украинской патронимии.