Фамилия Драева — женская форма фамилии Драев, и её разбор стоит начать с мужского варианта. Драев — фамилия, образованная по самой распространённой в русском языке модели: от прозвища или имени, оканчивающегося на согласный, с помощью суффикса -ев (вариант суффикса -ов после мягких согласных и шипящих). Основа здесь — «Драй» или «Драй-», что сразу наводит на мысль о глаголе «драть»: «драть» в старых говорах значило не только рвать, но и «сечь, бить, наказывать». Прозвище Драй могли дать человеку крутого нрава, драчуну или, наоборот, тому, кого постоянно драли — нерадивому работнику или крестьянскому сыну.

Есть и другая, менее очевидная версия. В южнорусских и украинских говорах «драй» — это не глагол, а существительное со значением «отбросы, выжимки, что-то плохое». В этом случае прозвище Драй могло закрепиться за бедняком или неряшливым человеком. Однако первая версия (от «драть») кажется более правдоподобной: фамилии от глагольных основ с таким значением встречаются часто (Драчёв, Драницын), а Драев — просто более редкий вариант той же модели.

Географически фамилия Драев (и Драева) встречается не повсеместно, а тяготеет к югу России и Украине. В дореволюционных переписях она фиксировалась в Харьковской, Курской и Воронежской губерниях. Это объяснимо: именно в этих местах бытовал глагол «драть» в значении «сечь», а суффикс -ев вместо -ов указывает на основу на мягкий согласный (Драй → Драев).

Сословного барьера у фамилии не было: Драевыми могли быть и крестьяне, и мещане, и казаки. Никаких дворянских родов с такой фамилией в «Бархатной книге» или «Гербовнике» нет — она народная, бытовая. В советское время фамилия не исчезла, но осталась редкой: по современным данным, носителей Драевых в России — несколько сотен, преимущественно в Ростовской области и Краснодарском крае.

Интересная деталь: в некоторых старых документах фамилию писали через «я» — Дряев. Это не ошибка, а диалектное произношение: в южнорусских говорах «драть» звучало как «дрять», отсюда и прозвище Дряй, и фамилия Дряев. Так что, если ваши предки из южных регионов, вариант Дряев — не искажение, а закономерная историческая форма.