Фамилия Драгавцева — женская форма, а мужская, Драгавцев, восходит к прозвищу или мирскому имени Драгавец. В основе лежит корень «драг-», который в древнерусском и южнославянских языках означал «дорогой», «милый». Это типичная модель для так называемых «охранительных» имён: родители называли ребёнка Драг (или Драган, Драганец), веря, что имя-оберег убережёт от злых сил и привлечёт к нему любовь и благополучие. Суффикс «-ец» в слове «Драгавец» указывает на принадлежность к чему-то или на носителя признака: Драгавец — «тот, кто дорог», «любимец».

Словообразовательная цепочка проста: основа «драг-» + суффикс «-ав-» (редкий, но встречающийся в русских прозвищах, ср. «кривавец» от «кривой») + суффикс «-ец». Фамилия образована по стандартной патронимической модели: сын Драгавца становился Драгавцевым. Суффикс «-ев» (а не «-ов») закономерен, так как основа оканчивается на мягкий согласный «ц».

Географически фамилия Драгавцев (и её женская форма) встречается преимущественно на юге России, в Ростовской области, Краснодарском крае, а также на Украине. Это указывает на возможное южнорусское или украинское происхождение, где личные имена с корнем «драг-» были особенно популярны под влиянием украинского и польского языков (ср. укр. «драгий» — дорогой). В центральных и северных областях России чаще встречались фамилии с корнем «дорог-» (Дорогов, Дорогобедов и т.п.).

Редкий суффикс «-ав-» в основе отличает фамилию от более распространённых Драганов, Драгиных или Драгилевых. Драгавцев — не отчественная фамилия от христианского имени, а именно прозвищная, что говорит о её древнем, дофамильном слое. Носители этой фамилии, скорее всего, происходят от одного человека, которого в своё время прозвали Драгавцем за ласковый нрав или как желанное дитя.