Фамилия Дробко образована по характерной для украинской и южнорусской антропонимии модели с суффиксом -к(о), который в XVI–XVIII веках активно присоединялся к прозвищам и именам. Суффикс выполнял не только уменьшительную, но и «сыновью» функцию: Дробко — буквально «сын Дробы» или «маленький Дроб». Основой послужило прозвище Дроб, Дроба, которое в разных говорах означало либо «мелкая часть, крошка» (от «дробь»), либо человека маленького роста или суетливого, «дробного» — то есть быстрого, семенящего шагом. В некоторых областях «дробой» называли также бродягу или человека, который «дробит» — то есть часто меняет место жительства.

В отличие от более распространённых фамилий на -ов/-ев, модель на -к(о) в украинской традиции не склонялась по женскому роду (Дробко, а не Дробкова), что позволяет с высокой вероятностью отнести фамилию к украинскому или белорусскому ареалу. В польской ономастике известна фамилия Drobko, записанная на территории Подляшья и Волыни, что указывает на общий западнорусский корень. Фамилия могла возникнуть и из личного имени Дроба — сокращённой формы от Дорофей (Дорофей → Дороф → Дроб), хотя это менее вероятно, так как уменьшительная форма Дороша или Дороня встречается чаще.

Встречаются варианты написания Дробко и Дробько: второй вариант подчёркивает мягкость основы (от «дробь» — мелкая монета или охотничья дробь). Если предок был охотником, прозвище могло закрепиться за тем, кто торговал дробью или славился меткой стрельбой дробью. Однако наиболее правдоподобная версия — бытовое прозвище по внешности или характеру: дробный человек — мелкий, юркий, подвижный.

Фамилия Дробко не относится к числу дворянских, её носители — в основном крестьяне и мещане центральной Украины, юга России и восточных областей Беларуси. В ревизских сказках XVIII века Дробки встречаются в Черниговской, Полтавской и Харьковской губерниях. В современной России фамилия редкая, сосредоточена в Ростовской области и Краснодарском крае — регионах массового переселения украинцев в XIX–XX веках.