Фамилия Дружыцкий — редкий случай, когда внешне прозрачная основа (корень «друж-») не ведёт к однозначному выводу. Если бы фамилия оканчивалась на -ов или -ин, вопросов бы не было: «чей?» — дружин, дружкин. Но суффикс -ыцк- (в русской передаче часто -ицк-) указывает на географическое происхождение: так образовывали фамилии от названий мест. Значит, предок носителя фамилии был либо выходцем из села или местечка с корнем «Друж-», либо получил прозвище, которое позже привязали к местности.

Какие это могли быть топонимы? На карте Беларуси и Украины встречаются деревни Дружыця (Дружиця), Дружковичи, Дружное. Но самое вероятное — село Дружыцы (Дружицы) на территории бывшей Гродненской губернии или Волынской области. Фамилии на -ицкий/-ыцкий традиционно характерны для польской шляхты и белорусской знати, но в XIX веке их массово получали и крестьяне при переписях — по названию деревни, где жили. Поэтому Дружыцкий мог быть потомком как мелкого землевладельца, так и крестьянина из одноимённого села.

Версия с прозвищем «Дружыца» (уменьшительное от «друг» или «дружина») слабее, но её нельзя отбросить полностью. В древнерусском языке «дружина» означала не только военный отряд, но и товарищей, общину. Прозвище Дружыца мог получить верный соратник или человек, состоявший в княжеской дружине. Однако суффикс -ицкий в таком случае пришлось бы добавлять искусственно, что для древнерусской традиции нетипично — прозвища чаще превращались в фамилии через -ов/-ин.

Написание через «ы» (Дружыцкий) вместо привычного «и» (Дружицкий) — не ошибка, а указание на польскую или западнорусскую орфографическую традицию. В польском языке после шипящих и ц пишется «y», в русском — «и». Если фамилия сохранила «ы» в современных документах, это может говорить о том, что предки долго жили на территории Речи Посполитой или в западнорусских губерниях Российской империи, где такое написание было нормой.

Известных носителей фамилии в открытых источниках почти нет — это не массовая фамилия, а локальная, штучная. Что, впрочем, только подтверждает её привязку к конкретному месту или роду. Если у вас есть семейное предание о происхождении из деревни Дружыцы, скорее всего, оно верно.