Фамилия Дубров по своему происхождению — типичная «патронимическая» модель, но с необычным корнем. Её основа — прозвище Дубр, которое образовали от слова «дуб». Суффикс -ов указывает на принадлежность: Дубров буквально значит «сын Дубра» или «потомок Дубра».

Прозвище Дубр могло появиться по двум разным причинам. Первая — бытовая и географическая: человека так прозвали за то, что он жил в дубраве, среди дубов, или владел дубовой рощей. Вторая версия связана не с деревом, а с характером. Вопреки современному значению, в старину «дубом» называли вовсе не глупого или медлительного человека. В смоленских говорах, например, такое прозвище означало «честный, непоколебимый, надёжный как дуб». Сравните с устойчивым выражением «крепкий дуб» — о здоровом и сильном человеке.

Словообразовательная модель здесь простая, но редкая: основа «дубр-» встречается в фамилиях реже, чем «дуб-» или «дубов-». Сравните с однокоренными Дубов, Дубинин, Дубровин — последняя, кстати, образована от топонима Дуброва (дубрава), а не от личного прозвища. Дубров же стоит особняком: у него нет промежуточного географического названия, прозвище Дубр — прямое.

Если ваш предок носил фамилию Дубров, он с большой вероятностью происходил из центральных или южнорусских областей, где дубовые леса были обычны. Сословной привязки у фамилии нет: её могли получить и крестьяне, и посадские люди, и мелкие служилые.