Фамилия Дугарская — редкий случай, когда географическая основа почти наверняка перевешивает любую другую версию. Женская форма Дугарская указывает, что исходная мужская фамилия — Дугарский, а та, в свою очередь, образована по модели, типичной для польской, украинской, белорусской и еврейской ономастики: с помощью суффикса -ский/-цкий, который часто прикрепляли к названиям мест.

Сам корень «Дугар» отсылает к топониму. На карте Восточной Европы есть несколько мест с таким названием. Самые очевидные кандидаты — деревня Дугары в бывшей Виленской губернии (сейчас территория Литвы) или Дугары в Волынской области Украины. В таком случае предок носительницы фамилии был либо помещиком, владевшим этим селом, либо, что гораздо чаще, крестьянином или мещанином, которого записали по месту жительства — «из Дугар». Фамилии на -ский в XIX веке активно давали в духовных училищах и семинариях, но для Дугарского эта версия слабее: нет очевидной семинарской основы вроде названия церковного праздника или латинского слова.

Вторая версия, менее вероятная, но не исключённая, — прозвищная. В некоторых говорах «дугарь» — это мастер по изготовлению дуг (части конской упряжи). Тогда Дугарский — сын дугаря, ремесленника. Однако суффикс -ский для прямого указания на профессию нетипичен: кузнец становился Кузнецовым, а не Кузнецким. Если бы основой было ремесло, мы бы ждали фамилию Дугарев. Поэтому топонимическая версия правдоподобнее.

Третья, экзотическая, гипотеза выводит фамилию из монгольского или бурятского имени Дугар (от тибетского «дукар» — белый зонт, символ защиты в буддизме). В таком случае Дугарская — русифицированная форма от бурятской фамилии Дугаров или Дугаржапов. Но здесь та же проблема с суффиксом: -ский для бурятских фамилий нехарактерен, они обычно оформляются как Дугаров. Скорее всего, это случайное совпадение корней.

В итоге: если ваша фамилия Дугарская, велика вероятность, что корни семьи — в западных губерниях Российской империи, среди православного или католического населения, и предки происходили из небольшого села или хутора с названием Дугары.