Фамилия Дягай — одна из тех, что сразу привлекает внимание своей необычной формой. В русской фамильной системе суффикс -ай встречается нечасто, и почти всегда он указывает на прозвище, образованное от глагольной основы. В данном случае основа — «дяга-», и здесь возможны два основных объяснения.

Первое и самое вероятное: Дягай — это вариант прозвища Дяга, связанного с диалектным глаголом «дягать». В южнорусских и украинских говорах «дягать» означало «брыкаться», «лягаться», а также «ходить вразвалку», «ковылять». Человек с такой походкой или с привычкой задевать кого-то ногами мог получить прозвище Дяга, а его сын или потомок — фамилию Дягай. Суффикс -ай в фамилиях такого типа (ср. Лягай, Бодай, Ковыряй) часто фиксировал активное действие или характерный признак: «тот, кто дягает».

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая место, — связь с украинским словом «дяга» (или «дягва»), которое в некоторых регионах обозначает болотистую местность, топь, сырую низину. Тогда Дягай могло быть прозвищем человека, жившего у такого места, или же выходца из болотистой местности. Однако эта гипотеза слабее: суффикс -ай для топонимических прозвищ нехарактерен, а в украинской ономастике фамилии на -ай чаще глагольные.

Географически фамилия Дягай встречается прежде всего на юге России и в восточной Украине — в Ростовской области, Краснодарском крае, в Харьковской и Донецкой областях. Это подтверждает её связь с южнорусскими и украинскими говорами. В центральных и северных регионах России она редка.

С точки зрения социального происхождения, носители фамилии Дягай, скорее всего, относились к крестьянскому или казачьему сословию. Прозвища, лёгшие в основу таких фамилий, давались в быту, закреплялись за одним человеком и затем передавались детям. Фамилия не дворянская, не книжная — она из живой народной речи.

Интересно, что фамилия Дягай не имеет ничего общего с «дядей» или «дядькой», хотя внешне это напрашивается. Корень здесь другой, и ударение падает на последний слог — Дяга́й, а не Дя́гай. Если вы встретите вариант с ударением на первый слог, это, скорее всего, позднее искажение под влиянием слова «дя́дя».