Фамилия Догай необычна уже тем, что её основа — чистый корень, без типичных русских фамильных суффиксов -ов, -ев, -ин. Это указывает на то, что перед нами, скорее всего, украинская, белорусская или южнорусская фамилия, где такие «усечённые» формы (Догай, Коваль, Гаркавый) встречаются гораздо чаще, чем на севере. По сути, фамилия Догай — это застывшее прозвище в форме повелительного наклонения глагола «догать» или «догнать». Но здесь есть лингвистический нюанс.

В русских говорах слово «догай» могло означать «догоняй», «поторапливайся». Прозвище Догай давали либо очень быстрому, расторопному человеку, которого трудно было настичь, либо, наоборот, тому, кто вечно отставал и кого постоянно приходилось подгонять окриком «Догай!». В украинском языке есть близкое слово «дога́ти» — «угадывать», «соображать». Тогда Догай — это «догадливый», «сметливый», «понятливый». Какая версия правдоподобнее? Если отталкиваться от географии, то фамилия Догай чаще встречается в западных областях России и в Беларуси, где глагол «догати» в значении «угадывать» был в ходу. Значит, предок мог получить прозвище за острый ум и способность быстро схватывать суть, а не за скорость бега.

Фамилия Догай — редкая. Она не попала в массу дворянских родов и не связана с известными историческими личностями. Её носители, скорее всего, происходили из крестьянской или казачьей среды (особенно на юге России, где такие однословные фамилии бытовали у запорожских казаков). Встречается вариант Догайло — с тем же корнем, но с увеличительным или пренебрежительным суффиксом. Если ваша фамилия Догай, то ваши предки, вероятно, жили на территории современной Украины, Беларуси или в южнорусских областях (Курская, Воронежская, Ростовская), и их отличительной чертой называли либо догадливость, либо торопливость. Точнее сказать без генеалогического поиска по конкретному региону сложно.