Фамилия Договы, как и её мужская форма Догов, чаще всего отталкивается от имени или прозвища Дог. Самая вероятная версия связывает основу с кавказскими языками, где «дог» или близкие по звучанию корни могли означать «здоровый», «крепкий», «сильный». Такие имена-пожелания были распространены у многих народов Кавказа: родители давали ребёнку имя, которое должно было принести ему удачу, храбрость или долголетие. Так возник и целый ряд фамилий, построенных по модели «прозвище + суффикс -ов».

Менее распространённая, но возможная версия — связь с тюркским словом «дог» (рождается, восходит). В этом случае прозвище могли дать первенцу или ребёнку, родившемуся на рассвете. Однако для фамилий кавказского региона такая семантика встречается реже, чем «обережные» имена.

Суффикс -ов указывает на русскую модель образования фамилий, которая закрепилась на Кавказе в XIX–XX веках при документальной записи местных прозвищ и имён. Поэтому фамилия Договы несёт в себе двойной след: местную, кавказскую основу и русскую патронимическую форму.

Географически фамилия чаще всего встречается в Дагестане, Чечне и среди терских казаков, что подтверждает её северокавказские корни. У носителей фамилии Договы можно предполагать предков, которые жили в горных аулах или станицах, где имя-пожелание Дог было частью местной традиции.

Спорных версий немного: иногда пытаются связать фамилию с русским словом «дог» (порода собак), но для кавказского региона это маловероятно — такая основа не вписывается в систему местных имён. Если и было прозвище, связанное с собакой, то скорее с тюркским «ит» или чеченским «жӏаьла», а не с заимствованным «дог».

Точное время возникновения фамилии Договы установить сложно: документальная фиксация таких фамилий шла неравномерно, особенно в горных районах. Окончательно говорить о месте и дате появления можно только после серьёзных генеалогических изысканий, но в целом фамилия — яркий пример того, как кавказская культура сохранила свои древние именные традиции в русской фамильной форме.