Фамилия Догая — редкий пример «окающей» фамилии, которая сохранила древнерусское чередование гласных. В основе лежит слово «догой», то есть «дорогой». Это не ошибка или искажение, а закономерное для северных и сибирских говоров явление: там, где в литературном языке звучит «о», в диалектах могло произноситься «а» под ударением, и наоборот. Так «дорогой» превратилось в «догой», а фамилия застыла в этой архаичной форме.

Словообразовательная модель здесь проста: полное прилагательное в женском роде, которое перешло в разряд фамилий. Обычно такие фамилии (Дорогая, Милая, Родная) давали женщинам в качестве прозвищ, но в случае с Догой возможен и другой путь. В русской традиции фамилии на -ая часто фиксировали семейное прозвище, которое могло относиться к главе семьи, а затем закрепиться за всем родом. Например, если мужа в деревне звали Догой, то его жену и детей тоже могли записать как Догих или Догую.

Географически фамилия привязана к северу России и Сибири — регионам, где «оканье» и «аканье» переплетались сложнее, чем в центральных областях. Встречаются варианты Догих, Догой, Догая — все они однокоренные и различаются только падежной формой, в которой фамилию записали при первой переписи.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с украинским или белорусским словом «дога» (дуга, изгиб). В этом случае прозвище мог получить человек с характерной осанкой или сутулостью. Но против этой гипотезы говорит огласовка: в южных диалектах «дорогой» не переходило бы в «догой», а «дуга» не дала бы такого корня. Поэтому версия с «дорогим» человеком выглядит убедительнее.

Носителей фамилии немного, и она не относится к числу распространённых. Встречается в основном на Урале и в Западной Сибири, реже — в старых поселениях поморов.