Фамилия Дьякун — один из тех редких случаев, когда мы точно знаем, кем был предок. Основа здесь не имя и не профессия в современном смысле, а церковный чин: дьяк. Слово «дьяк» пришло на Русь из греческого (diаkonos — «служитель») и обозначало представителя низшего духовенства. В отличие от священника, дьяк не имел права совершать богослужения, но в его ведении находилось всё хозяйство церковной общины — от учёта свечей до управления земельными угодьями. Это была должность не столько духовная, сколько административная, поэтому дьяки пользовались в своей среде заметным влиянием.

Фамилию образовали не напрямую от слова «дьяк», а через прозвище Дьяк, которое дали человеку по его роду занятий. Суффикс -ун в фамилии Дьякун — характерная черта украинской, белорусской и южнорусской ономастики. В русском языке такой суффикс обычно образует названия лиц по действию (бегун, крикун), но в фамилиях он часто указывает на прозвище, образованное от профессии или должности. Таким образом, Дьякун — это «потомок того, кого называли Дьяк».

Географически фамилия тяготеет к западным и южным регионам бывшей Российской империи — современным Украине, Белоруссии и прилегающим областям России. В центральных и северных губерниях обычно использовали суффиксы -ов/-ев: Дьяков. Форма Дьякун — более редкая, она сохранила региональный колорит и прямо указывает на украинскую или белорусскую языковую среду. Встречается и вариант написания Дьякун с мягким знаком, что не меняет ни происхождения, ни значения.

Если ваш предок носил эту фамилию, он с высокой вероятностью происходил из семьи церковного служителя, но не священника, а именно хозяйственного распорядителя при храме. Впрочем, прозвище Дьяк могли дать и грамотному мирянину, который вёл делопроизводство или переписку, — в народе таких тоже называли дьяками.