Фамилия Егибаева, скорее всего, имеет тюркские корни и образована от мужского имени или прозвища Егибай. Разберем её по частям: основа «Еги-» и компонент «-бай». В тюркских языках «бай» — это «богатый», «господин», «хозяин», очень частый элемент в именах и фамилиях (вспомните Байбатыров, Баймуратов). Первая часть сложнее: «Еги» может восходить к древнетюркскому слову «ег» (или «ийе») — «хозяин», «владыка», «дух-покровитель». В этом случае Егибай означает «богатый хозяин» или «господин-владыка». Есть и другая версия: «еги» может быть формой от «еге» — «седло» (в казахском, например), тогда прозвище могло относиться к мастеру-седельнику или всаднику, но это менее вероятно.

Фамилия образована по русской модели с суффиксом -ев, который добавляется к основам на -й (Егибай → Егибаев). Женская форма Егибаева естественна для русской грамматики. Если смотреть на географию, фамилия распространена в среде казахов, башкир, татар и других тюркоязычных народов, а также у тех, кто живет в смешанных регионах России — в Оренбургской, Челябинской областях, в Башкортостане. Встречается и у ногайцев.

Сословно предки Егибаевых, скорее всего, были незнатными, но уважаемыми людьми — зажиточными скотоводами или ремесленниками. «Бай» в составе имени указывает на достаток, но не на аристократию. В документах XIX века фамилия могла появиться у крестьян или казаков, получивших фамилию по имени отца. В отличие от многих русских фамилий на -ов, здесь нет привязки к отчеству в церковном смысле — это чисто тюркская основа, «обрусевшая» через суффикс.

Интересная деталь: в некоторых диалектах «еги» могло означать «скрученный», «изогнутый» — тогда прозвище Егибай дали бы человеку с характерной осанкой или походкой. Но большинство ономастов сходится на версии с «хозяином»: такие имена (Байеги, Егибай) встречаются в родословных записях у казахов и башкир как личные, а не прозвищные.