Фамилия Егунько звучит на южнорусский или украинский лад, и её разговорная форма сразу выдаёт регион, где она сформировалась. В основе лежит имя или прозвище Егунь, которое, скорее всего, является производным от канонического имени Егор (Георгий). В народной речи имя Егор часто сокращали до Егуня, Егунь, а суффикс -к-о в украинской и белорусской традиции указывает на малороссийское происхождение: он означает «сын» или «потомок», то есть буквально «Егунько» — это «сын Егора» или «маленький Егор».

Словообразовательная модель здесь проста и типична для восточнославянских фамилий: основа (личное имя или прозвище) + суффикс принадлежности. Суффикс -к-о характерен для фамилий, возникших в среде казачества и крестьянства на территории современной Украины и юга России. В отличие от русских фамилий на -ов (Егоров), где подчёркивается принадлежность отцу, суффикс -к-о в украинской традиции мог быть и уменьшительно-ласкательным, и указывать на молодость носителя. Сравните с фамилиями Егоренко, Егоркин — все они от одного корня, но разное оформление выдаёт разную историю.

В ономастических словарях (например, у Б. Унбегауна) фамилии на -ко рассматриваются как преимущественно украинские, хотя в пограничных областях — на Кубани, Дону, в Курской и Воронежской губерниях — они встречаются и у русских. Егунько — нечастая фамилия, но её география прослеживается: носители встречаются в Краснодарском крае, Ростовской области и на востоке Украины. Если предки были казаками, то фамилия могла закрепиться не по отцу, а по прозвищу: Егунь — так могли называть человека, который чем-то напоминал Егора (например, был упрям или носил бороду), или же это была форма имени, данная при крещении.

Другой, менее вероятный вариант: основа «егун» могла быть связана с диалектным глаголом «егозить» (вертеться, суетиться), но это скорее народная этимология. Правдоподобнее версия с именем Егор: она подтверждается тем, что в русских говорах форма «Егун» фиксируется как обиходное имя, а фамилии от неё (Егунов, Егунков) существуют параллельно. Егунько — это не искажение, а самостоятельная южнорусская ветвь того же корня, сохранившая старую уменьшительную форму.