Фамилия Егунькин — один из тех редких случаев, когда основа совсем не очевидна, а суффикс нестандартен. В русской модели фамилий на -ин обычно лежит имя или прозвище на -а/-я (Петя — Петин, Кузьма — Кузьмин). Здесь же основа Егуньк- явно образована от имени или прозвища, но с двойным суффиксом: -унь- и -к-. Это указывает на то, что исходная форма — Егунька, уменьшительное от какого-то имени.

Самая вероятная версия: Егунька — это народная, просторечная форма имени Егор. В диалектах имя Егор дробилось на множество вариантов: Егуня, Егунька, Егоша. Суффикс -унь- в русских уменьшительных именах (как Андрюня, Ванюня) придаёт оттенок ласкательности, а -к- добавляет фамильярность. Таким образом, Егунькин означает «сын Егуньки», то есть потомок человека, которого в быту звали уменьшительно от Егора.

Вторая, менее распространённая версия, отсылает к прозвищу Егунька, которое могло произойти от диалектного глагола «егунить» — в некоторых говорах так называли капризничать, плакать или привередничать. В этом случае фамилия несёт характерологическую окраску: предок мог получить прозвище за плаксивый нрав или, наоборот, за привычку «егунить» — то есть ныть, жаловаться. Но эта версия уступает первой по распространённости: в ономастике чаще всего фамилии на -ин образуются от имён, а не от глагольных прозвищ.

Географически фамилия Егунькин встречается редко. Основной ареал — центральные и северные области России, особенно Поволжье и Прикамье, где имя Егор было очень популярно, а уменьшительные формы активно использовались в крестьянской среде. В документах XVIII–XIX веков такие фамилии часто фиксировались у государственных и экономических крестьян, то есть у свободного сельского населения, а не у дворян.

Интересная деталь: двойной суффикс -уньк- в фамилиях — редкость. Обычно фамилии на -ин образуются от односложных основ (Ерёмин, Никитин), а здесь мы видим цепочку: Егор → Егунька → Егунькин. Это делает фамилию ценной для историков языка — она сохранила живую народную словообразовательную модель, которая почти не встречается в официальных документах и лучше заметна в прозвищах.

Если ваши предки носили фамилию Егунькин, скорее всего, они были крестьянами из центральной России, а их родовое имя пошло от ласкового домашнего прозвища — Егунька, то есть маленький Егор.