Фамилия Елагян — армянская, и её разбор стоит начать с типичного для армянских фамилий суффикса -ян. В классическом армянском языке этот суффикс (а также его более старая форма -янц или -енц) указывал на принадлежность к роду. Буквально фамилия с таким окончанием отвечала на вопрос «из чьих ты?» — то есть «из рода такого-то». Так что Елагян исторически означала «из рода Елаг».

Сама основа Елаг — это, скорее всего, сокращённая или народная форма библейского имени Елисей. Имя Елисей пришло из древнееврейского и означает «спасённый Богом». В русской и армянской традиции длинные имена часто укорачивали в быту: Елисей превращался в Елас, а затем в Елаг. Именно эта усечённая форма и легла в основу фамилии.

Есть и другая версия, хотя она менее вероятна. Корень Елаг мог возникнуть и от других имён, начинающихся на «Ели-»: например, от имени Елизар (древнееврейское «Бог помиловал») или Елистрат (греческое «добрый воин»). Все эти имена были крестильными и распространены среди христианских народов, включая армян. Однако наиболее прямая и фонетически близкая связь прослеживается именно с именем Елисей: цепочка «Елисей → Елас → Елаг» выглядит естественнее, чем попытка вывести Елаг из Елизара.

Таким образом, носитель фамилии Елагян — потомок человека, которого в быту звали Елаг, а полное имя того предка, скорее всего, было Елисей. Фамилия не указывает на конкретное ремесло или сословие, а просто фиксирует родовое имя — типичная для Армении модель, где клановая принадлежность ценилась выше всего.