Фамилия Елагов — одна из тех, что образована от производной, разговорной формы крестильного имени. В основе лежит имя Елаг, которое возникло как упрощение от канонического Елисей. В переводе с древнееврейского Елисей означает «спасенный Богом». Словообразовательная цепочка выглядит так: полное имя Елисей сократили до краткой формы Елас, а затем, по распространённой модели, добавили суффикс -аг, получив Елаг. Такое усечение с наращением суффикса — типичный для русской народной традиции способ адаптировать длинные церковные имена.

Фамилия оформлена по патронимическому принципу: суффикс -ов указывает на принадлежность — буквально «сын Елага». Это стандартная модель для русских фамилий, закрепившаяся в XVI–XVII веках.

Есть и вторая версия происхождения, менее вероятная, но возможная. Имя Елаг могло быть производным не только от Елисея, но и от других крестильных имён, начинающихся на Ели-: Елизар (с древнееврейского — «Бог помиловал») или Елистрат (с греческого — «добрый воин»). В народной речи все три имени могли дать одну и ту же краткую форму Елаг, поэтому точно определить, от какого именно имени пошла конкретная фамилия, можно только по сохранившимся церковным записям предков.

Фамилия Елагов — довольно редкая. Её географическое распространение неширокое, что указывает на локальное происхождение, скорее всего, в центральных или северных губерниях России. Носитель такой фамилии в прошлом — потомок человека, которого в быту звали просто Елагом, и это прозвище закрепилось за его родом как официальное родовое имя.