Фамилия Елашева — женская форма, исходная мужская — Елашев. Это типичная русская фамилия, образованная с помощью патронимического суффикса -ев, который присоединяли к основе, оканчивающейся на мягкий согласный или шипящий. В данном случае основа — Елаш, прозвище или неканоническое имя.

Самое вероятное объяснение корня «Елаш» связано с тюркскими языками. В ряде тюркских наречий «елаш» или «ялаш» означает «ровесник», «сверстник», «товарищ по возрасту». Такое прозвище могли дать в русской среде человеку, который дружил или общался с кем-то одного с ним возраста, либо же это было мирское имя, данное ребёнку, родившемуся одновременно с соседским малышом. Фамилии на -ев с тюркской основой нередки в Поволжье, Приуралье и среди казачества — регионах, где русские долго контактировали с татарами, башкирами и другими народами.

Менее распространённая, но тоже возможная версия — от глагола «елашить» (в диалектах — «суетиться», «торопиться», «делать кое-как»). В этом случае Елашей прозвали человека непоседливого или неаккуратного в работе. Однако надёжных лексикографических подтверждений этому слову в литературном языке нет, и версия с тюркским «ровесником» выглядит убедительнее.

Фамилия Елашев (и Елашева) не относится к числу распространённых. В дореволюционных источниках она встречается в основном в документах по Симбирской, Самарской и Оренбургской губерниям — как раз в зоне активного русско-тюркского пограничья. Носители могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми, в том числе из числа «новокрещенов» — принявших православие татар или мордвы, чьи потомки постепенно обрусели.

Поскольку фамилия редкая, её история, скорее всего, не связана с каким-то одним знатным родом. Это фамилия-прозвище, которая закрепилась за конкретной семьёй в конкретной местности. Если искать корни, стоит обратить внимание на архивы Самарской и Оренбургской областей — там вероятность найти ранние упоминания выше, чем в центральных губерниях.