Фамилия Еринич звучит как типичная патронимическая фамилия южнославянского или западнорусского образца. Суффикс -ич указывает на происхождение от отца: в сербском, хорватском, белорусском и польском языках этот суффикс означает «сын такого-то». В русской традиции фамилии на -ич — явление редкое, чаще всего они встречались у белорусов или у выходцев с территории Речи Посполитой, а в Великороссии закрепились в основном у духовенства или дворянства. Еринич, скорее всего, образована от личного имени Ерина или Ериня — вероятно, народной формы канонического имени Ирина или Ириней, либо от прозвища Еря.

Основа Ерин- восходит к уменьшительному или разговорному варианту имени Ирина (в старину — Орина). На Руси имя Ирина через народное произношение «Арина» дало множество производных: Ерина, Еря, Ериха. В белорусском и украинском говорах переход «а» в «е» (еканье) был обычен, поэтому Ерина могла быть местным вариантом Арины. Значит, Еринич — это «сын Ерины», то есть сын женщины по имени Ерина, что на первый взгляд кажется необычным: патронимы обычно образуются от мужских имён. Однако в славянской традиции фамилии на -ич могли закрепляться и по материнской линии, если мать была главой семьи или если имя отца было забыто, а прозвище рода пошло от матери. Такие случаи редки, но не исключены.

Есть и другая версия: Еринич могло быть прозвищем, образованным от глагола «ерить» или существительного «ер» — в старых говорах «ерить» означало «упрямиться, капризничать», а «ер» — «задира, ершистый человек». Тогда Еринич — «сын Ери», то есть сын упрямца или задиры. Эта версия объясняет мужскую основу и не требует привязки к женскому имени.

Географически фамилия Еринич тяготеет к западным областям: Беларусь, западные регионы России (Смоленщина, Брянщина), а также к украинскому Полесью. В польских метриках встречается форма Jerzynicz, что подтверждает польско-литовское влияние. В России фамилия редкая и не попала в списки массовых дворянских родов, поэтому её носители, скорее всего, были крестьянами или мещанами, получившими фамилию при переписях XIX века. Сословной принадлежности точно не установить, но суффикс -ич у простолюдинов на территории Российской империи — признак скорее белорусского или малороссийского происхождения, чем великорусского.