Фамилия Фильчиков — одна из тех, где исходное слово почти забыто, а фамилия сохранила его в виде прозвища. В её основе лежит нецерковное имя или прозвище Фильчик. Уменьшительно-ласкательный суффикс -чик указывает на молодого человека или ребёнка, а корень восходит к имени Филя — краткой форме от Филимон или Филипп. В старину Филями называли не только носителей этих имён, но и простоватых, наивных людей (отсюда фразеологизм «простофиля»). Так что Фильчик — это либо «маленький Филя», либо сын человека по прозвищу Филя, причём в прямом, а не уничижительном смысле.

Фамилия образована по стандартной русской модели на -ов: Фильчик → Фильчиков, то есть «сын Фильчика». Суффикс -ов здесь присоединился к основе, оканчивающейся на -к, что типично для фамилий от прозвищ с уменьшительными суффиксами. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии встречались в основном среди крестьян и посадских людей, где прозвища были особенно живучи. Фильчиковы могли быть выходцами из центральных или северных губерний России — там чаще бытовали формы на -чик, тогда как на юге предпочли бы Фильченко.

Интересно, что фамилия Фильчиков не имеет отношения к слову «филька» в значении «негодный документ» (от указа Петра I о «филькиных грамотах»). Это более поздняя метафора, а прозвище Фильчик старше и нейтральнее. Встречаются и однокоренные фамилии: Филькин, Фильчаков, Фильченков — все они восходят к тому же корню, но с разными суффиксами. Фильчиков — одна из редких форм, где уменьшительное значение сохранилось особенно прозрачно.

В современных справочниках фамилия встречается нечасто, что говорит о её локальном происхождении. Если ваши предки — Фильчиковы, скорее всего, они были крестьянами или ремесленниками, а фамилия закрепилась за одной ветвью рода в конкретной местности. Точной географической привязки без анализа архивов не дать, но логично искать корни в районах, где было распространено имя Филя.