Фамилия Габатовы — редкая и с неочевидной этимологией. Если вы её носитель, скорее всего, ваши предки происходят из регионов с сильным тюркским или кавказским влиянием (Поволжье, Приуралье, Северный Кавказ), либо из среды староверов, куда фамилия могла попасть вместе с прозвищем.

Разберём основу. В русской ономастике суффикс -ов указывает на принадлежность («чей сын?» — Габатов). Сама основа — Габат — не имеет славянских корней. Самый прямой путь: от мужского имени Габат — варианта арабского имени Габатулла (غابة الله — «лес Божий» или «дар Божий», в зависимости от диалекта). У татар, башкир и народов Дагестана такие имена сокращали до первой части, и от них образовывали фамилии по русскому образцу: Габатов. В этом случае фамилия указывает на то, что предок был мусульманином (или крещёным татарином), носившим это имя.

Вторая версия, менее вероятная, но возможная для северных областей: от прозвища Габат. В говорах Архангельской и Вологодской губерний «габать» означало «хватать, брать жадно, хапать». Прозвище Габат могли дать жадному или, наоборот, цепкому, хваткому человеку. Однако фамилий на -ов от таких глагольных основ обычно больше: Габалов, Габаев. Форма «Габатов» с твёрдым -т- в основе говорит в пользу имени, а не глагола.

Обратите внимание на морфологию: фамилия стоит во множественном числе («Габатовы»), что типично для обозначения рода в целом. В единственном числе — Габатов (м.) и Габатова (ж.). Ударение, скорее всего, на второй слог: Габатовы.

Сословного распределения у этой фамилии нет: она встречается и среди крестьян (особенно в бывшей Казанской губернии), и среди казачества. В дореволюционных метрических книгах Габатовы фиксировались в Казанской, Уфимской и Оренбургской губерниях — это совпадает с ареалом расселения татар-мишарей и башкир.

Таким образом, если вы Габатов, ваш предок с большой вероятностью носил имя Габат (сокращение от Габатулла) и жил в Поволжье или на Южном Урале. Фамилия — прямое свидетельство межэтнического контакта: тюркское имя обросло русским патронимическим суффиксом и стало родовым.