Фамилия Гаецкий — хороший пример того, как географическое имя перешло в фамилию. В её основе лежит название населённого пункта с корнем «гай» — так в южных и западных говорах называли лес, рощу, чаще лиственную. Отсюда пошло множество сёл и хуторов Гаи, Гаевка, Гаево. Человек, переехавший из такого места, получал прозвище Гаец или Гаецкий — то есть «тот, кто из Гая». Формант «-цк-» здесь типичен для польской и западнорусской модели образования фамилий от географических названий, особенно в среде шляхты и мещанства.

Менее вероятная, но допустимая версия — происхождение от личного имени Гай. В римской традиции это распространённое имя (Гай Юлий Цезарь), но в славянской среде оно встречалось редко, чаще как монашеское или календарное. Однако в таком случае фамилия скорее звучала бы как Гаев или Гаевич. Форма на «-цкий» всё же уверенно указывает на топонимику.

Фамилия Гаецкий распространена в основном на территории современной Беларуси, западной Украины и в приграничных областях России (Брянская, Смоленская). Встречаются и варианты написания: Гаєцький (украинская передача), Гаецкі (белорусская). В польском языке фамилия Gajecki также фиксируется, что подтверждает её западнославянские корни.

При разборе суффикса важно заметить, что «-цкий» — это не уменьшительная форма, а притяжательно-относительный суффикс, указывающий на принадлежность к местности. В отличие от фамилий на «-ов» (Гаев), форма на «-цкий» часто носила более книжный, официальный характер и могла закрепляться за духовенством или служилыми людьми. Однако в случае Гаецкого сословная привязка необязательна: такой тип фамилий встречался и у крестьян, и у мещан, особенно в западных губерниях.

Однокоренные фамилии — Гаев, Гаевой, Гаенко, Гайдук (но это уже другая история). Если ваш предок носил фамилию Гаецкий, скорее всего, он происходил из местности, где был лесной массив или селение с названием Гай. Никакой тайной символики или редкого ремесла здесь нет — просто человек, указавший на своё родовое гнездо.