Фамилия Гандзёшина — редкий случай, когда ударение в слове может менять его происхождение. Если ударение падает на второй слог (Гандзёшина), основа восходит к украинскому или белорусскому прозвищу Гандзёша. Если же на третий (Гандзеши́на), то перед нами вариант с характерным восточнославянским суффиксом -ин, указывающим на принадлежность: «чей?» — Гандзешин, то есть потомок человека по прозвищу Гандзеша. В любом случае, корень один — «гандз-».

Этот корень — диалектный и довольно тёмный. В украинских говорах «гандз» или «ганза» могло означать «скупой», «прижимистый» человек, а также «крючок», «закорючка» — отсюда прозвище для хитрого или изворотливого. В польском языке gędźba — «музыка», gędzić — «играть на струнном инструменте», и не исключено, что Гандзёша — это искажённое западнославянское прозвище музыканта. Третья, менее вероятная версия — от личного имени Гандзя (уменьшительное от Геннадий или Евгений в южнорусских говорах), но тогда фамилия звучала бы как Гандзин или Гандзев, а не Гандзёшин.

Суффикс -ёш- в основе — редкий для русских фамилий. Он характерен для украинской модели образования прозвищ с ласкательным или уменьшительным оттенком: Гандзёша — «маленький Гандзя» или «Гандзя-пройдоха». Фамилии на -ин от таких прозвищ типичны для юга России, Курской, Воронежской областей, а также для белорусского Полесья. В переписях XIX века носители фамилии почти не встречаются: это говорит о её локальном характере и, вероятно, позднем закреплении — возможно, в XX веке при паспортизации.

Географически фамилия тяготеет к западнорусским и украинским территориям, где смешивались диалекты. Если ваши предки — выходцы из Черниговской или Могилёвской губерний, версия с «хитрым» или «скрягой» становится основной. Если же из Волыни или Подолья — стоит присмотреться к музыкальному корню.

Сравните с однокоренными: Ганзенко, Гандзюк, Гандзёвский — все они несут ту же неоднозначную основу. Фамилия Гандзёшина остаётся загадкой, но её редкость — не недостаток, а ключ к конкретной семейной истории, которую не размыли массовые переселения.