Фамилия Гашке — довольно редкая для русского слуха, но при этом прозрачная по происхождению. Её основа — краткая форма имени, а суффикс указывает на географию. Разберём по порядку.

Вероятнее всего, фамилия Гашке образована от уменьшительной формы имени Гавриил — Гаша. В русском языке имя Гавриил дало множество народных вариантов: Гавша, Гаша, Гашка. Суффикс -ке в данном случае — не русский, а характерный для западнославянских и балтийских языков (польского, украинского, белорусского, литовского). Он выполняет ту же роль, что русский суффикс -к(а) в именах типа Машка, Сашка, но закреплён как фамильное окончание. То есть Гашке — это «сын Гаши» или «человек из рода Гаши». Такая модель типична для фамилий, возникших на территории бывшей Речи Посполитой, в западных губерниях Российской империи.

Есть и менее вероятная, но возможная версия: связь с немецкой фамилией Gaschke или Gashke, которая восходит к краткой форме имени Готфрид или к прозвищу от средневерхненемецкого gâsch (быстрый, резкий). Немецкие фамилии на -ke особенно часты в Восточной Пруссии и Померании, откуда носители могли переселиться в Россию в XVIII–XIX веках. Однако для фамилии Гашке, встречающейся у русскоязычных, первая, славянская версия выглядит убедительнее: имя Гаша как основа встречается в русских говорах, а суффикс -ке — результат польского или украинского влияния на оформление фамилии.

Социальный контекст прост: фамилия Гашке, скорее всего, принадлежала крестьянам или мещанам западных регионов (современные Беларусь, Украина, запад России). В дворянской среде такие «простые» отчества на -ке не закрепились. Встречаемость фамилии в современных базах данных невысока, что подтверждает её локальный характер.

Таким образом, если вы носите фамилию Гашке, ваши предки, по всей видимости, происходят из западнорусских земель, а их родоначальником был человек по имени Гаша (Гавриил). Фамилия — живой след народной языковой традиции, где полное церковное имя сократили, а потом оформили по местному образцу.