Фамилия Гаськова — женская форма, а её основа — мужское прозвище Гасько. Словообразовательная модель простая: к прозвищу добавили типичный русский суффикс принадлежности -ов, а затем окончание -а, указывающее на женский род. Суффикс -ко в основе Гасько — характерная украинская черта, он часто встречается в прозвищах и уменьшительных формах имён на востоке Украины.

Значение прозвища неоднозначно, и здесь есть несколько версий. Первая отталкивается от глагола «гасить». В этом случае Гасько могло быть профессиональным прозвищем — так в народе могли называть пожарного. Но у этого же корня есть и другая, менее очевидная смысловая ветвь: «гасить» в переносном смысле — успокаивать, смирять. Тогда прозвище могло закрепиться за человеком вспыльчивым, которого «гасили» или который сам мог «погасить» ссору силой. Вторая версия ведёт к южнославянскому глаголу «гасать» — носиться, скакать. Если это так, то Гасько — прозвище лихого наездника или просто непоседливого, подвижного человека. Какая из версий верна для конкретной семьи, сейчас сказать трудно, но обе имеют право на существование и отражают разные стороны жизни: ремесло и характер.

Фамилия редкая, её география тяготеет к южнорусским и украинским областям, где прозвища на -ко были обычным делом. В документах XVII–XVIII веков можно было бы встретить запись вроде «казак Гасько», но конкретные исторические носители не зафиксированы в широко доступных источниках.