Фамилия Гавриина — женская форма, образованная от мужской фамилии Гавриин, которая, в свою очередь, происходит от крестильного имени Гавриил. В русской ономастике это довольно редкий случай: гораздо чаще встречаются фамилии с суффиксом -ов (Гаврилов) или -ин (Гаврилин). Вариант Гавриин указывает на то, что в основе лежит полная, не усеченная форма имени, а суффикс -ин присоединен напрямую к основе «Гаврии-». Это говорит о том, что предок носителя фамилии, скорее всего, звался Гавриилом, а не сокращенным Гаврилой.

Имя Гавриил (от древнееврейского «сила Божья») входило в число самых распространенных на Руси, но фамилии от него редко сохраняли двойное «и» на стыке корня и суффикса. Чаще всего в бытовой речи имя редуцировалось до Гаврила, отсюда и массовые фамилии Гаврилов, Гаврилин, Гавриков. Форма Гавриин — более книжная, церковная, она могла закрепиться в семьях духовенства или в среде, где придавали значение точному написанию имени в документах. Встречается она в основном в северных и центральных регионах России, где приходские записи велись особенно скрупулезно.

С точки зрения словообразования, Гавриина — притяжательное прилагательное, отвечавшее на вопрос «чья?»: дочь или жена Гавриина. В современном употреблении фамилия склоняется как обычное прилагательное, но в исторической перспективе она могла быть закреплена за женщиной без изменения формы. Если вы носите эту фамилию, то, вероятно, ваши предки по мужской линии были людьми, которых в официальных бумагах записывали полным церковным именем — что само по себе нечасто и указывает на определенный социальный статус или грамотность писаря.