Фамилия Гайдеева — женская форма от Гайдеев, и её разбор стоит начать не с корня, а с нетипичного суффиксального оформления. В русских фамилиях распространены модели на -ов/-ев, -ин, -ский, -их. Здесь мы видим суффикс -еев, который встречается реже, чем -ов, и указывает на то, что основа фамилии оканчивается на -ей или -ея. То есть исходная форма — Гайдей или Гайдей.

Корень «Гайд-» — тёмный и спорный. Самая прямая версия: прозвище Гайда от тюркского «гайда» — команда «пошёл», «вперёд». В южнорусских и казачьих говорах так могли окликнуть человека торопливого, непоседливого или того, кто постоянно подгонял других. В украинском языке «гайда» — то же самое, плюс встречается как междометие «айда». Фамилия могла закрепиться в среде донских или запорожских казаков, где тюркские заимствования были обычным делом.

Вторая версия, менее вероятная: от имени Гайдей как варианта крестильного имени Гавриил или Гедеон в народной переделке. Но фонетический переход «Гавд-» или «Гед-» в «Гайд-» неочевиден, и эта гипотеза слабая. Также не стоит притягивать за уши немецкое «Heide» (пустошь) — для русской фамилии это экзотика без документальных подтверждений.

Географически фамилия Гайдеев (и Гайдеева) тяготеет к югу России: зафиксирована в Ростовской области, Краснодарском крае, а также на Украине. Это косвенно подтверждает казачью или крестьянскую среду происхождения. Сословная принадлежность, скорее всего, недворянская — фамилия не встречается в родословных книгах, а значит, предки были из однодворцев, государственных крестьян или казаков.

Ударение в фамилии, судя по типичной модели, падает на второй слог: Гайде́ева. В разговорной речи возможны варианты, но литературная норма — на суффикс.

Таким образом, фамилия Гайдеева — это отчество от прозвища Гайда, которое дали человеку за его склонность к движению, понуканию или просто за манеру говорить «гайда». Южный след и редкий суффикс делают её заметной среди прочих «топонимических» фамилий.