Фамилия Гайдийдеев — редкий пример, где даже написание не устоялось: в источниках встречается вариант Гайдидеев, с одной буквой «й» в середине. Этот разнобой сам по себе подсказывает, что фамилия не из книжных, а из живой устной традиции, где звучание важнее графики. Образована она по стандартной восточнославянской модели: к основе Гайдидей (или Гайдийдей) добавили притяжательный суффикс -ев, указывающий на принадлежность («чей?» — Гайдийдеев, то есть сын или потомок Гайдидея).

Корень фамилии — прозвище Гайдидей, и его происхождение неоднозначно. Самая вероятная версия связывает его с южнорусским глаголом «гайдать», который, по словарю В. И. Даля, означает «бегать, шататься, летать». В таком случае прозвище давали человеку быстрому, проворному, непоседливому — эта черта сразу бросалась в глаза и закреплялась за ним как основное именование. По другой версии, в основе лежит украинское «гайда» — призыв, побуждение идти куда-либо, что тоже подчёркивает подвижность и активность основателя рода.

Третья гипотеза выводит прозвище от названия музыкального инструмента — гайды, разновидности волынки, известной у болгар, сербов и поляков. Если это так, то предок носителей фамилии мог быть музыкантом, народным гайдаром. Эта версия менее распространена, но лингвистически не слабее других: прозвища по роду занятий — один из самых частых источников фамилий.

Выбрать одну из трёх гипотез без дополнительных сведений невозможно. Но суффикс -ей в прозвище (Гайдидей) характерен для южнорусских и украинских говоров, где такие окончания нередки в личных именах и прозвищах. Это позволяет уверенно говорить, что фамилия Гайдийдеев имеет корни в южнорусской или украинской среде, а её основатель жил, скорее всего, в XIX веке или раньше, когда прозвища ещё свободно переходили в фамилии.