Фамилия Гайлиш — редкий пример, когда корень слова уводит нас не в славянские, а в балтийские языки. В основе прозвища, от которого она произошла, лежит литовское gailis. В переводе на русский это слово означает «багульник» — кустарник из семейства Вересковые, который растёт на болотах и в сырых лесах. Человек мог получить такое прозвище по-разному. Самое прямое объяснение — он жил рядом с зарослями багульника, и соседи запомнили его по этой примете. Но есть и другая версия: багульник в народной медицине использовали как лекарственное растение (хотя он и ядовит). Поэтому Гайлишем могли прозвать знахаря или травника, который собирал его и лечил людей.

Фамилия образована по продуктивной модели: к основе Гайл- добавился суффикс -иш. В славянской ономастике суффикс -иш встречается нечасто, но он характерен для прозвищ, которые затем закреплялись как фамилии без дополнительных окончаний (сравните: Гайлиш, Гайлис). Такая форма типична для западнорусских земель и территорий, где исторически был контакт с балтийскими языками — например, в Беларуси, на Смоленщине, в Литве. Встречается фамилия и в украинских говорах.

Таким образом, фамилия Гайлиш — не про «петуха» (хотя литовское gaidys звучит похоже, но это другое слово), а про растение и, возможно, про занятие предка. Она указывает либо на место жительства у болотистых зарослей, либо на ремесло травника.